13.5 KB · ⇊ 5 parts · ⤓ Micron 13.5 KB · ⤓ HTML 109.0 KB

top

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall [ − − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} bezüglich der Gewichtsfunktion ( 1 − − x ) α α ( 1 + x ) β β {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }} mit α α , β β > − − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta >-1} . Sie haben die explizite Formcite-ref-1[1]

P n ( α α , β β ) ( x ) = Γ Γ ( α α + n + 1 ) n ! Γ Γ ( α α + β β + n + 1 ) ∑ ∑ m = 0 n ( n m ) Γ Γ ( α α + β β + n + m + 1 ) Γ Γ ( α α + m + 1 ) ( x − − 1 2 ) m , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{m},}

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} :

P n ( α α , β β ) ( x ) = ( n + α α n ) 2 F 1 ( − − n , 1 + n + α α + β β ; α α + 1 ; 1 − − x 2 ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-x}{2}}\right).}

• Rodrigues-Formel

• Rekursionsformeln

• Eigenschaften

• Ableitungen

• Nullstellen

• Asymptotische Darstellung

• Erzeugende Funktion

• Spezialfälle

• Kugelsymmetrische Gewichtung auf dem Intervall [0,1

• Literatur

• Einzelnachweise

P n ( α α , β β ) ( x ) = ( − − 1 ) n 2 n n ! ( 1 − − x ) − − α α ( 1 + x ) − − β β d n d x n [ ( 1 − − x ) α α + n ( 1 + x ) β β + n ] , α α , β β > − − 1 {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x)^{\alpha +n}(1+x)^{\beta +n}\right],~~~\alpha ,\beta >-1}

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

P 0 ( α α , β β ) ( x ) = 1 {\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)=1}

P 1 ( α α , β β ) ( x ) = 1 2 ( α α − − β β + ( α α + β β + 2 ) x ) {\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {1}{2}}{\bigl (}\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x{\bigr )}}

a n 1 P n + 1 ( α α , β β ) ( x ) = ( a n 2 + a n 3 x ) P n ( α α , β β ) ( x ) − − a n 4 P n − − 1 ( α α , β β ) ( x ) {\displaystyle a_{n}^{1}P_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(a_{n}^{2}+a_{n}^{3}x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)-a_{n}^{4}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(x)}

mit den Konstanten:

a n 1 = 2 ( n + 1 ) ( n + α α + β β + 1 ) ( 2 n + α α + β β ) {\displaystyle a_{n}^{1}=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )}

a n 2 = ( 2 n + α α + β β + 1 ) ( α α 2 − − β β 2 ) {\displaystyle a_{n}^{2}=(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}

a n 3 = ( 2 n + α α + β β ) ( 2 n + α α + β β + 1 ) ( 2 n + α α + β β + 2 ) {\displaystyle a_{n}^{3}=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}

a n 4 = 2 ( n + α α ) ( n + β β ) ( 2 n + α α + β β + 2 ) {\displaystyle a_{n}^{4}=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)}

Der Wert für x = 1 {\displaystyle x=1} ist

P n ( α α , β β ) ( 1 ) = ( n + α α n ) = Γ Γ ( n + α α + 1 ) Γ Γ ( α α + 1 ) n ! {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}} .

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

P n ( α α , β β ) ( − − x ) = ( − − 1 ) n P n ( β β , α α ) ( x ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-x)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(x)\,,}

woraus sich der Wert für x = − − 1 {\displaystyle x=-1} ergibt:

P n ( α α , β β ) ( − − 1 ) = ( − − 1 ) n ( n + β β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

∫ ∫ − − 1 1 ( 1 − − x ) α α ( 1 + x ) β β P m ( α α , β β ) ( x ) P n ( α α , β β ) ( x ) d x = 2 α α + β β + 1 2 n + α α + β β + 1 Γ Γ ( n + α α + 1 ) Γ Γ ( n + β β + 1 ) Γ Γ ( n + α α + β β + 1 ) n ! δ δ n m . {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.}

Aus der expliziten Form können die k {\displaystyle k} -ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

d k d x k P n ( α α , β β ) ( x ) = Γ Γ ( α α + β β + n + 1 + k ) 2 k Γ Γ ( α α + β β + n + 1 ) P n − − k ( α α + k , β β + k ) ( x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(x).}

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

( a 0 b 1 0 … … 0 b 1 a 1 b 2 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ 0 b 2 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b n − − 1 0 … … 0 b n − − 1 a n − − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}&b_{1}&0&\dots &0\\b_{1}&a_{1}&b_{2}&\ddots &\vdots \\0&b_{2}&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &b_{n-1}\\0&\dots &0&b_{n-1}&a_{n-1}\end{pmatrix}}}

mit

a 0 = β β − − α α 2 + α α + β β {\displaystyle a_{0}={\frac {\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }}}

a j = β β 2 − − α α 2 ( 2 j + α α + β β ) ( 2 j + 2 + α α + β β ) , j = 1 , … … , n − − 1 {\displaystyle a_{j}={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )}},~~~j=1,\dots ,n-1}

b 1 = 4 ( 1 + α α ) ( 1 + β β ) ( 2 + α α + β β ) 2 ( 3 + α α + β β ) {\displaystyle b_{1}={\sqrt {\frac {4(1+\alpha )(1+\beta )}{(2+\alpha +\beta )^{2}(3+\alpha +\beta )}}}}

b j = 4 j ( j + α α ) ( j + β β ) ( j + α α + β β ) ( 2 j − − 1 + α α + β β ) ( 2 j + α α + β β ) 2 ( 2 j + 1 + α α + β β ) , j = 2 , … … , n − − 1 {\displaystyle b_{j}={\sqrt {\frac {4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta )^{2}(2j+1+\alpha +\beta )}}},~~~j=2,\dots ,n-1}

stimmen mit den Nullstellen von P n ( α α , β β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} überein.cite-ref-2[2] Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall ( − − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} liegen.

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

P n ( α α , β β ) ( cos ⁡ ⁡ θ θ ) = cos ⁡ ⁡ ( [ n + ( α α + β β + 1 ) / 2 ] θ θ − − [ 2 α α + 1 ] π π / 4 ) π π n [ sin ⁡ ⁡ ( θ θ / 2 ) ] α α + 1 / 2 [ cos ⁡ ⁡ ( θ θ / 2 ) ] β β + 1 / 2 + O ( n − − 3 / 2 ) , 0 < θ θ < π π . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}

Für alle x ∈ ∈ R , z ∈ ∈ C , | z | < 1 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} ,|z|<1} gilt

∑ ∑ n = 0 ∞ ∞ P n ( α α , β β ) ( x ) z n = 2 α α + β β [ f ( x , z ) ] − − 1 [ 1 − − z + f ( x , z ) ] − − α α [ 1 + z + f ( x , z ) ] − − β β , f ( x , z ) = 1 − − 2 x z + z 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)z^{n}=2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta },~~~f(x,z)={\sqrt {1-2xz+z^{2}}}.}

Die Funktion

z ↦ ↦ 2 α α + β β [ f ( x , z ) ] − − 1 [ 1 − − z + f ( x , z ) ] − − α α [ 1 + z + f ( x , z ) ] − − β β {\displaystyle z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha }[1+z+f(x,z)]^{-\beta }}

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

• für α α = β β = 0 {\displaystyle \alpha =\beta =0} : Legendre-Polynome

• Gegenbauer-Polynome

• Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung

• der Radialterm der Zernike-Polynome

Ein nützlicher Spezialfall der Jacobi-Polynome tritt bei kugelsymmetrischen Problemstellungen auf, bei denen Lösungen nur vom Radius r {\displaystyle r} abhängen. Dabei treten häufig Integrale mit Gewicht r β β {\displaystyle r^{\beta }} auf, etwa bei elektrischen Feldern, Dichteprofilen oder Temperaturverteilungen in Kugelkoordinaten. Durch die Transformation x = 2 r − − 1 {\displaystyle x=2r-1} lassen sich die Jacobi-Polynome P n ( 0 , β β ) ( x ) {\displaystyle P_{n}^{(0,\beta )}(x)} auf das Intervall [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} mit Gewicht r β β {\displaystyle r^{\beta }} übertragen.

Dies führt zu einer explizit orthonormalisierten Darstellung:

F n ( β β ) ( r ) = ∑ ∑ k = 0 n ( − − 1 ) n + k 1 + β β + 2 n ⋅ ⋅ Γ Γ ( n + k + β β + 1 ) Γ Γ ( k + 1 ) Γ Γ ( n − − k + 1 ) Γ Γ ( k + β β + 1 ) r k , r ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\frac {{\sqrt {1+\beta +2n}}\cdot \Gamma (n+k+\beta +1)}{\Gamma (k+1)\,\Gamma (n-k+1)\,\Gamma (k+\beta +1)}}\,r^{k},\quad r\in [0,1]}

Diese Polynome erfüllen die Orthonormalitätsrelation:

∫ ∫ 0 1 F n ( β β ) ( r ) F m ( β β ) ( r ) r β β d r = δ δ n m . {\displaystyle \int _{0}^{1}F_{n}^{(\beta )}(r)\,F_{m}^{(\beta )}(r)\,r^{\beta }\,dr=\delta _{nm}.}

Die Funktionen F n ( β β ) ( r ) {\displaystyle F_{n}^{(\beta )}(r)} bilden eine normierte, monomiale Basis und sind insbesondere nützlich für radial gewichtete Funktionen auf Kugelintervallen. Sie entsprechen (bis auf Normierung) den Jacobi-Polynomen P n ( 0 , β β ) ( 2 r − − 1 ) {\displaystyle P_{n}^{(0,\beta )}(2r-1)} .

• Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).

• Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.

• I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.

• Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Edition am Gutenbergplatz Leipzig, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.

cite-note-11. ↑ Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln

cite-note-22. ↑ Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. Hrsg.: Edition am Gutenbergplatz Leipzig. 2009, ISBN 3-937219-28-5 (Kapitel 2.2 und 2.4).